用迭代法求某数a的平方根。已知求平方根的迭代公式为：x _n+1 = (x_n + a / x_n) / 2
要求前后两次求出的差的绝对值小于10^-5。

算法如下：

① 设定一个x的初值x₀ ; (在如下程序中取x₀=a/2, 通过迭代公式求出x1，可以肯定与真正的平方根相比，误差很大。)
② 用上述公式求出x的下一个值 x₁ ;
③ 如此继续下去,直到前后两次求出的x值(x _n+1和xn)满足以下关系:|x _n+1-x_n|<10^-5 .

＃i nclude <stdio.h>
＃i nclude <math.h>
int   main()
{
    float a;      /* 被开方数 */
    float x0, x1; /* 分别代表前一项和后一项 */
    printf("Input a positive number:\n");
    scanf("%f", &a);
    x0 = a / 2;   /* 任取初值 */
    x1 = (x0 + a / x0) / 2;
    while (fabs(x1 - x0) >= 1e-5)
    {
        x0 = x1;
        x1 = (x0 + a / x0) / 2;
    }
    printf("The square root of %5.2f is %8.5f\n", a, x1);
    return 0;
}

运行结果:
=====================================
Input a positive number:
2↙
The square root of  2.00 is  1.41421
=====================================

★ 其中初值是任取的(这里取的a/2) , 试将x0初值换为任意数均可得到如上结果。只是迭代的次数有差异。

★ 另外，考虑到while与do-while的差别，此程序用while结构，那是否会出现第一次判断条件时就不成立呢，即不会执行循环体。验证如下：设被开方数a为4，x0 初值为2，则由迭代公式可得x1值为2，x1=x0 值应该为0, 此时应该不会执行循环体，那么结果是否还是正确的呢? 验证如下:

＃i nclude <stdio.h>
＃i nclude <math.h>
int   main()
{
    float a;
    float x0, x1;
    printf("Input a positive number:\n");
    scanf("%f", &a);
    x0 = 2;
    x1 = (x0 + a / x0) / 2;
    printf("x0=%f x1=%f x1-x0=%f\n", x0, x1, x1-x0);
    while (fabs(x1 - x0) >= 1e-5)
    {
        x0 = x1;  
        x1 = (x0 + a / x0) / 2;
        printf("x1=%f\n", x1);  /* 若条件成立,则会循环输出 */
    }
    printf("The square root of %5.2f is %8.5f\n", a, x1);
    return 0;
}

运行结果: (没有输出循环体中的内容)
===============================================
Input a positive number:
4↙
x0=2.000000 x1=2.000000 x1-x0=0.000000
The square root of  4.00 is  2.00000
===============================================

★ 若被开方数 a 为9, 初值为3, 情况与以上类似, 都不满足条件, 没有进入循环体运行, 但结果都是正确的。原因(我猜)是在做如上假设时, x1经一次迭代后已经就是正确的结果了, 而不需要再做第二次迭代，那么是否执行循环体也就无所谓了。这应该和这种迭代方法的由来有点关系，我猜。